Đáp án:

$a) F_{min} = 224 (N)$

$b)$

Gia tốc của vật `m_1` là `veca_1` có phương nằm ngang, chiều cùng chiều `vecF'` và có độ lớn `880/103` $m/s^2$.

Gia tốc của vật `m_2` là `veca_[12]` có phương và chiều như hình vẽ và có độ lớn là `[50\sqrt[449]]/103` $m/s^2$

Giải thích các bước giải:

        `m_1 = 8 (kg)`

        `m_2 = 2 (kg)`

        `k_1 = 0,3`

        `k_2 = 0,5`

$a)$

Gia tốc của vật `m_1` là `veca`.

Khi tác dụng lực `vecF` theo phương ngang sao cho `m_2` đứng yên so với `m_1` nên `m_2` cũng có vecto gia tốc `veca` và không có vecto gia tốc theo phương thẳng đứng.

Áp dụng định luật II Newton cho vật `m_2`:

        `veca= [vec[N_2] + vecP_2 + vecF_[msn]]/m_2`

`<=> vec[N_2] + vecP_2 + vecF_[msn] = m_2veca`    `(1)`

        Và `F_[msn] \le k_2 N_2`     `(2)`

`(1)`: Chiếu lên phương thẳng đứng:

        `F_[msn] = P_2 = m_2 g`

Độ lớn phản lực `N_2` là:

        `N_2 = m_2a`

`(2) to m_2 g \le k_2 m_2 a`

     `to a \ge g/k_2 = 10/[0,5] = 20` $(m/s^2)$

Áp dụng định luật II Newton cho vật `m_1`:

        `veca = [vec[N_1] + vecP_1 + vecF_[ms] + vecF +vecF_[21]]/m_1`

`<=> vec[N_1] + vecP_1 + vecF_[ms] + vecF + vecF_[21] = m_1veca`

Theo phương thẳng đứng:

        `N_1 = P_1 = m_1 g`

`to F_[ms] = k_1 N_1 = k_1 m_1 g`

Theo phương nằm ngang:

        `F - F_[ms] - F_[21] = m_1a`

`<=> F - k_1 m_1 g - N_2 = m_1 a`

`<=> F = k_1 m_1 g + m_2 a + m_1 a`

            `\ge 0,3.8.10 + (8 + 2).20 = 224 (N)`

`to` Giá trị nhỏ nhất của `F` là `F_[min] = 224 (N)`

$b)$

Với lực `vecF' = 1/2 vecF_[min]`.

Gọi gia tốc của `m_1, m_2` theo phương ngang là `veca_1`.

Gia tốc của `m_2` theo phương thẳng đứng là `veca_2`.

Áp dụng định luật II Newton cho `m_2:`

         `veca_1 = vec[N_2']/m_2`

`<=> vec[N_2'] = m_2 veca_1`

`=> N_2' = m_2 a_1`

         `veca_2 = [vecP_2 + vecF_[ms2]]/m_2`

`<=> vecP_2 + vecF_[ms2] = m_2 veca_2`

`=> P_2 - F_[ms2] = m_2 a_2`

`=> m_2 g - k_2 N_2' = m_2 a_2`

`=> a_2 = [m_2 g - k_2 m_2 a_1]/m_2 = g - k_2 a_1`

Áp dụng định luật II Newton cho vật `m_1`:

        `veca_1 = [vec[N_1'] + vecP_1 + vecF_[ms'] + vecF' +vecF_[21'] + vecF_[ms 21]]/m_1`

`<=> vec[N_1'] + vecP_1 + vecF_[ms'] + vecF' +vecF_[21'] + vecF_[ms 21] = m_1veca`

Theo phương thẳng đứng:

        `N_1' = P_1 + F_[ms21] = m_1 g + F_[ms2] = m_1 g + k_2 m_2 a_1`

`to F_[ms'] = k_1 N_1' = k_1 m_1 g + k_1 k_2 m_2 a_1`

Theo phương nằm ngang:

        `F' - F_[ms'] - F_[21'] = m_1a_1`

`<=> F_[min]/2 - (k_1 m_1 g + k_1 k_2 m_2 a_1) - N_2' = m_1 a_1`

`<=> F_[min]/2 - k_1 m_1 g = m_1 a_1 + m_2 a_1 + k_1 k_2 m_2 a_1`

`<=> a_1 = [F_[min]/2 - k_1 m_1 g]/[m_1 + m_2 + k_1 k_2 m_2]`

             `= [ 224/2 - 0,3.8.10]/[8 + 2 + 0,3.0,5.2]`

             `= 880/103` $(m/s^2)$

`=> a_2 = g - k_2 a_1 = 10 - 0,5. 880/103 = 590/103` $(m/s^2)$

Vậy gia tốc của vật `m_1` là `veca_1` có phương nằm ngang, chiều cùng chiều `vecF'` và có độ lớn `880/103` $m/s^2$.

Gia tốc của vật `m_2` là:

         `veca_[12] = veca_1 + veca_2`

`=> veca_[12]` có phương và chiều như hình vẽ và có độ lớn là:

         `a_[12] = \sqrt[a_1^2 + a_2^2] = \sqrt[(880/103)^2 + (590/103)^2] `

               `= [50\sqrt[449]]/103` $(m/s^2)$