Đáp án:

$a)$ Công suất đoạn mạch `MN` đạt cực đại là `13,5 W`.

$b)$ \(\left[ \begin{array}{l}R_x = 24 (\Omega)\\R_x = \dfrac{24}{7} (\Omega)\end{array} \right.\) 

Giải thích các bước giải:

        `R_1 = 24 (Omega)`

        `R_2 = 6 (Omega)`

        `U_[AB] =18 (V)`

Sơ đồ mạch điện:

        `R_2` $nt (R_1 // R_x)$

Điện trở tương đương của đoạn mạch là:

        `R_[AB] = R_2 + [R_1 R_x]/[R_1 + R_x]`

                `= 6 + [24 R_x]/[24 + R_x]`

                `= [6(5R_x + 24)]/[R_x + 24] (Omega)`

Công suất của đoạn mạch `MN` là:

        `P_[MN] = (U_[AB]/R_[AB])^2 . R_[MN]`

                 `= (18/[ [6(5R_x + 24)]/[R_x + 24]] )^2 . [R_1 R_x]/[R_1 + R_x]`

                 `= [324(R_x + 24)^2]/[36(5R_x + 24)^2] . [24R_x]/[24 + R_x]`

                 `= [216R_x(R_x + 24)]/[(5R_x + 24)^2]`

                 `= [216/25 (25R_x^2 + 240R_x + 576) + 216/25 (360R_x - 576)]/[25R_x^2 + 240R_x + 576]`

                 `= 216/25 + 15552/25 . (5R_x - 8)/[25R_x^2 + 240R_x + 576]`

Ta có:

`I = (5R_x - 8)/[25R_x^2 + 240R_x + 576] = [5R_x - 8]/[(5R_x - 8)^2 + 64(5R_x - 8) + 1024]`

                                              `= 1/[(5R_x - 8) + 1024/[5R_x - 8] + 64]`

Vì `(5R_x - 8) + 1024/[5R_x - 8] ge 2\sqrt[1024] = 64` nên `I \le 1/[64 + 64] = 1/128`

`=> P_[MN] le 216/25 + 15552/25 . 1/128 = 13,5 (W)`

Vậy công suất đoạn mạch `MN` đạt cực đại là `13,5 W`.

$b)$

Khi `P_[MN] = 12 (W)`

`<=> [216R_x(R_x + 24)]/[(5R_x + 24)^2] = 12`

`<=> 18(R_x^2 + 24R_x) = 25R_x^2 + 240R_x + 576`

`<=> 7R_x^2 - 192 R_x + 576 = 0`

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}R_x = 24 (\Omega)\\R_x = \dfrac{24}{7} (\Omega)\end{array} \right.\)