Đáp án:

\({R_x} = \dfrac{{15}}{7}\Omega \) 

Giải thích các bước giải:

Cường độ dòng điện định mức của đèn là:

\({I_{dm}} = \dfrac{{{P_{dm}}}}{{{U_{dm}}}} = \dfrac{{10}}{5} = 2A\)

Điện trở của đèn là:

\({R_d} = \dfrac{{{U_{dm}}}}{{{I_{dm}}}} = \dfrac{5}{2} = 2,5\Omega \)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
{R_{td}} = {R_d} + \dfrac{{{R_x}{R_1}}}{{{R_x} + {R_1}}} = 2,5 + \dfrac{{15{R_x}}}{{15 + {R_x}}}\\
 \Rightarrow {R_{td}} = \dfrac{{37,5 + 17,5{R_x}}}{{15 + {R_x}}}\\
I = \dfrac{U}{{{R_{td}}}} = \dfrac{{10\left( {15 + {R_x}} \right)}}{{37,5 + 17,5{R_x}}}\\
{I_x} = \dfrac{{{R_1}}}{{{R_1} + {R_x}}}.I = \dfrac{{15}}{{15 + {R_x}}}.\dfrac{{10\left( {15 + {R_x}} \right)}}{{37,5 + 17,5{R_x}}}\\
 \Rightarrow {I_x} = \dfrac{{150}}{{37,5 + 17,5{R_x}}}\\
{P_x} = I_x^2{R_x} = {\left( {\dfrac{{150}}{{37,5 + 17,5{R_x}}}} \right)^2}{R_x}
\end{array}\)

Theo BĐT Cô si: 

\(\begin{array}{l}
{\left( {37,5 + 17,5{R_x}} \right)^2} \ge 4.37,5.17,5{R_x} = 2625{R_x}\\
 \Rightarrow {P_x} \le \dfrac{{{{150}^2}}}{{2625{R_x}}}.{R_x} = \dfrac{{60}}{7}W
\end{array}\)

Dấu = xảy ra khi: 

\(37,5 = 17,5{R_x} \Rightarrow {R_x} = \dfrac{{15}}{7}\Omega \)

Khi đó: 

\(I = \dfrac{{10\left( {15 + {R_x}} \right)}}{{37,5 + 17,5{R_x}}} = \dfrac{{16}}{7}A > {I_{dm}}\)

Vậy đèn sáng hơn bình thường.

Tóm tắt:

`U_(AB)=10V`

`R_1=15 Omega`

`Đ(5V-10W)`

`R_a=0 Omega`

-----------------

`b) R_x=? , P_(x max)=? `; Đèn sáng ?

Giải:

Điện trở của đèn và cường độ dòng điện định mức của đèn:

` R_đ=((U_(dm))^2)/(P_dm)=(5^2)/10=2,5 (Omega)`

 `I_(dm)=(P_(dm))/(U_(dm))=10/5=2(A)`

Theo mạch:
Ta có:` I_đ=I_x+I_1 <=> (U-U_x)/(R_đ)=(U_x)/(R_x)+(U_x)/(R_1)`

                             `<=> (10-U_x)/(2,5)=(U_x)/(R_x)+(U_x)/15`

                             `<=> U_x=(60R_x)/(7R_x+15) (*)`

Công suất tiêu thụ của biến trở:
 ` P_x=((U_x)^2)/(R_x)=(60^2 .(R_x)^2)/((7R_x+15)^2 .R_x)=(60^2 .R_x)/((7R_x+15)^2)`

       `=(60^2)/((7.\sqrt(R_x)+15/(\sqrt(R_x)))^2)  (1)`

Ta có: `7.\sqrt(R_x)+15/(\sqrt(R_x)) >= 2.\sqrt(7.15)=2\sqrt105 (BĐT` `cô-si)`

 ` => (7\sqrt(R_x)+15/(\sqrt(R_x)))^2 >= 420 (2)`
Từ `(1)` và `(2) => P_x <= (60^2)/420=60/7≈8,57`

Dấu "=" xảy ra khi: `7/(\sqrt(R_x))=15/(\sqrt(R_x)) <=>R_x=15/7 (Omega)`

`=> P_(x max)=8,57 (W)`

Tư `(*)` và `R_x=15/7 (Omega) => U_x=30/7 (V)`

Cường độ dòng điện qua đèn lúc này:

  `I_đ=(U-U_x)/(R_đ)=(10-30/7)/(2,5)=16/7≈2,59 > I_(dm)`

`=>` Đèn sáng quá mức bình thường có thể cháy

Vậy `R_x=15/7 (Omega)` thì công suất trên nó max và `P_(x max)=8,57 (W)` và đèn khi đó sáng quá mức bình thường có thể cháy