Đáp án +  Giải thích các bước giải:
`a.` Xét `triangleOAB ~ triangleOA'B'` có:
`(OA)/(OA') = (AB)/(A'B')` `(1)`
Xét `triangleF'OI ~ triangleF'A'B'` có :
`(OI)/(A'B') = (OF')/(A'F') <=> (AB)/(A'B') = (OF')/(OA'-OF')` `(2)`
Từ `(1),(2) => (OA)/(OA') =(OF')/(OA'-OF')`
`<=> 40/(OA') = 20/(OA' - 20)`
`<=> OA' = 40 cm`
Vậy khoảng cách từ ảnh đến thấu kính là `40cm`.
`b.`
Ta có : `2AB = A'B'`
`*` Trường hợp 1 : Ảnh thật lớn hơn vật
Xét `triangleOAB ~ triangleOA'B'` có:
`(OA)/(OA') = (AB)/(A'B')` 
`<=> (OA)/(OA') = 1/2`
`<=> OA' = 2.OA`
Xét `triangleF'OI ~ triangleF'A'B'` có :
`(OI)/(A'B') = (OF')/(A'F') <=> (AB)/(A'B') = (OF')/(OA'-OF')` 
`<=> (AB)/(2AB) = (OF')/(OA'-OF')`
`<=>1/2 = 20/(OA' - 20)`
`<=> OA' = 60cm`
Thay `OA' = 60cm` vào `(1)` ta có :
`60 = 2.OA`
`<=> OA = 30 cm`.
`*` Trường hợp 2 : Ảnh ảo lớn hơn vật
Xét `triangleOAB ~ triangleOA'B'` có:
`(OA)/(OA') = (AB)/(A'B')` 
`<=> (OA)/(OA') = 1/2`
`<=> OA' = 2.OA`
Xét `triangleF'OI ~ triangleF'A'B'` có :
`(OI)/(A'B') = (OF')/(A'F') <=> (AB)/(A'B') = (OF')/(OA'+OF')` 
`<=> (AB)/(2AB) = (OF')/(OA'+OF')`
`<=>1/2 = 20/(OA' + 20)`
`<=> OA' = 20cm`
Thay `OA' = 20cm` vào `(1)` ta có :
`20 = 2 . OA`
`<=> OA = 10cm`.
Vậy vị trí đặt vật để ảnh lớn gấp 2 lần vật lần lượt là `30cm` và `10cm`.

Đáp án:

Gọi `d` là khoảng cách từ vật đến thấu kính

      `d'` là khoảng cách từ ảnh của vật đến thấu kính

      `f` là tiêu cự của thấu kính

 Ta có: `\triangleABO` $\backsim$ `\triangleA^'B^'O (g-g)`

`=> (AB)/(A^'B^') =(AO)/(A^'O`

hay `(AB)/(A^'B^') =d/d^'` `(1)`

Ta có: `\triangleOIF^'` $\backsim$ `\triangleA^'B^'F^'`

`=> (IO)/(A^'B^')=(OF^')/(A^'F^'`

Mà `{(IO=AB),(A^'F=A'O-OF^'):}`

`=> (AB)/(A^'B^') = (OF^')/(A^'O-OF'`

hay `(AB)/(A^'B^')=f/(d^'-f)` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` `=>d/d^' = f/(d^'-f)`

                        `<=> d(d^' -f) =d^'f`

                        `<=> dd^' -df =d^'f`

                        `<=> dd^' =d^'f +df` `(·)`

Chia hai vế của `(·)` cho `dd^'f` 

`=> 1/f=1/d + 1/d^'` `(***)`

Theo gt, `f=20cm, d=40cm` thay vào `(***)` ta có:

`<=> 1/20=1/40 + 1/d^'`

`=> d^' = 40 (cm)`

Vậy khoảng cách từ ảnh đến thấu kính là `d^' =40cm`

b, Ta có: `1/f=1/d +1/d^'` `(***)`

 TH1: Ảnh `A'B'` là ảnh thật

Ta có: `\triangleABO` $\backsim$ `\triangleA^'B^'O (g-g)`

`=> (AB)/(A^'B^') =(AO)/(A^'O` `(3)`

Theo gt, ảnh lớn gắp 2 lần vật nên `A^'B^' = 2AB`

Thay vào `(3)`  ta được: 

`=> (AB)/(2AB) =(AO)/(A^'O`

`<=> 1/2 =(AO)/(A^'O`

`<=> 1/2=d/d^'`

`=> d^' =2d` `(4)`

Thay `(4)` vào `(***)` ta có:

`1/f=1/d +1/2d`

`<=>1/20 = 1/d +1/2d`

`<=>1/20=(2d+d)/(2d^2)`

`<=>1/20=(3d)/(2d^2)`

`<=>60d=2d^2`

`<=>60=2d`

`<=>d=30(cm)`

Vậy đặt vật cách thấu kính 1 khoảng là `d=30cm` thì thu được ảnh gấp 2 lần vật.

TH2: Ảnh `A'B'` là ảnh ảo

Ta có: `\triangleA'OB'` $\backsim$ `\triangleAOB` `(g-g)`

`=>(A'B')/(AB)=(OA')/(OA)`

`<=> (2AB)/(AB)=(OA')/(OA)`

`<=> 2=(d')/d`

`=> d'=2d` `(5)`

Ta có: `\triangleOF'I` $\backsim$ `\triangleA'F'B'` `(g-g)`

`=> (A'B')/(OI)=(A'F')/(OF')`

Mà `{(IO=AB),(A^'F=A'O+OF^'):}`

`=> (A'B')/(AB)=(OA'+OF')/(OF')`

`<=> (d')/d = (d'+f)/f` `(6)`

Thay `(5)` và `f=20cm` vào `(6)` ta được 

`(2d)/d =(d'+20)/20`

`<=> 2= (d'+20)/20`

`<=> 40 = d' + 20`

`=> d' = 20 (cm)`

Thay `d'=20cm` vào `(5)` ta được `20 =2d` `=> d = 10(cm)`

Vậy đặt vật cách thấu kính 1 khoảng là `d=10cm` thì thu được ảnh gấp 2 lần vật.