Đáp án:

 Lực nhỏ nhất cần tác dụng lên `m_1` là `[(mu_1 + mu_2)(m_1 + m_2) g]/\sqrt[1 + mu_1^2]` và góc `alpha = arctan(mu_1)`

Giải thích các bước giải:

Chọn mốc là mặt sàn.

Khi vật `m_2` trượt khỏi `m_1`, gia tốc của vật `m_2` so với mốc phải nhỏ hơn hoặc bằng gia tốc của vật `m_1` so với mốc.

       `vecF = vecP_2`

       `vecF_[ms21] = -vecF_[ms12]`

Áp dụng định luật II Newton cho vật `m_2`:

       `veca_2 = [vecP_2 + vecN_2 + vecF_[ms12]]/m_2`

`<=> vecP_2 + vecN_2 + vecF_[ms12] = m_2 veca_2`

Theo phương thẳng đứng:

       `N_2 = P_2`

`=> F = N_2 = m_2 g`

`=> F_[ms12] = F_[ms21] = mu_2 m_2 g`

Theo phương nằm ngang:

       `F_[ms12] = m_2 a_2`

`<=> a_2 = [F_[ms12]]/m_2 = [mu_2 m_2 g]/m_2 = mu_2 g`

Áp dụng định luật II Newton cho vật `m_1:`

       `veca_1 = [vecF + vecP_1 + vecN_1 + vecF + vecF_[ms21] + vecF_[ms] ]/m_1`

`<=>vecF + vecP_1 + vecN_1 + vecF + vecF_[ms21] + vecF_[ms] = m_1 veca_1`

Theo phương thẳng đứng:

       `N_1 = P_1 + F_[ms] - F sin alpha= m_1 g + m_2 g-F sinalpha`

`=> F_[ms] = mu_1 N_1 = mu_1  m_1 g + mu_1 m_2 g - mu_1 F sinalpha`

Thdeo phương nằm ngang:

       `F cosalpha - F_[ms12] - F_[ms] = m_1 a_1`

`<=> F cos alpha - mu_2 m_2 g - mu_1  m_1 g - mu_1 m_2 g + mu_1 F sinalpha = m_1 a_1`

`<=> a_1 = [F(cos alpha + mu_1 sin alpha) - mu_1 (m_1 + m_2) g - mu_2 m_2 g]/m_1`

Vì `a_1 ge a_2`

`<=> [F(cos alpha + mu_1 sin alpha) - mu_1 (m_1 + m_2) g - mu_2 m_2 g]/m_1 ge mu_2 g`

`<=> F(cos alpha + mu_1 sin alpha) - mu_1 (m_1 + m_2) g - mu_2 m_2 g ge mu_2 m_1 g`

`<=> F ge [(mu_1 + mu_2)(m_1 + m_2) g]/[cosalpha + mu_1 sin alpha]`

Vì `(cosalpha + mu_1 sinalpha)^2 \le (1^2 + mu_1^2)(cos^2 alpha + sin^2 alpha) = 1 + mu_1^2`

`<=> cosalpha + mu_1 sinalpha le \sqrt[1 + mu_1^2]`

`<=> F \ge [(mu_1 + mu_2)(m_1 + m_2) g]/\sqrt[1 + mu_1^2]`

Dấu $"="$ xảy ra khi `1/[cosalpha] = mu_1/[sin alpha]`

`<=> tan alpha = [sin alpha]/[cosalpha] = mu_1`

`<=> alpha = arctan(mu_1)`

Vậy lực nhỏ nhất cần tác dụng lên `m_1` là `[(mu_1 + mu_2)(m_1 + m_2) g]/\sqrt[1 + mu_1^2]` và góc `alpha = arctan(mu_1)`