Đáp án + Giải thích các bước giải:

TH1 : d = 4cm

Xét `triangleOAB ~ triangleOA'B'` có:
`(OA)/(OA') = (AB)/(A'B')` `(1)`
Xét `triangleF'OI ~ triangleF'A'B'` có :
`(OI)/(A'B') = (OF')/(A'F') <=> (AB)/(A'B') = (OF')/(OA'+OF')` `(2)`

Từ `(1),(2) => (OA)/(OA') = (OF')/(OA'+OF')`

`<=> 4/(OA') = 6/(OA'+6)`

`<=> OA' = 12cm`

Thay vào `(1)` ta có : `A'B' = (AB . OA')/(OA) = (2 . 12)/4 = 6cm`

TH2 : d = 8cm

Xét `triangleOAB ~ triangleOA'B'` có:
`(OA)/(OA') = (AB)/(A'B')` `(1)`
Xét `triangleF'OI ~ triangleF'A'B'` có :
`(OI)/(A'B') = (OF')/(A'F') <=> (AB)/(A'B') = (OF')/(OA'-OF')` `(2)`

Từ `(1),(2) => (OA)/(OA') = (OF')/(OA'-OF')`

`<=> 8/(OA') = 6/(OA'-6)`

`<=> OA' = 24cm`

Thay vào `(1)` ta có : `A'B' = (AB . OA')/(OA) = (2 . 24)/8 = 6cm`

TH3 : d=12cm

Xét `triangleOAB ~ triangleOA'B'` có:
`(OA)/(OA') = (AB)/(A'B')` `(1)`
Xét `triangleF'OI ~ triangleF'A'B'` có :
`(OI)/(A'B') = (OF')/(A'F') <=> (AB)/(A'B') = (OF')/(OA'-OF')` `(2)`

Từ `(1),(2) => (OA)/(OA') = (OF')/(OA'-OF')`

`<=> 12/(OA') = 6/(OA'-6)`

`<=> OA' = 12cm`

Thay vào `(1)` ta có : `A'B' = (AB . OA')/(OA) = (2 . 12)/12 = 2cm`

TH4 : d=16cm

Xét `triangleOAB ~ triangleOA'B'` có:
`(OA)/(OA') = (AB)/(A'B')` `(1)`
Xét `triangleF'OI ~ triangleF'A'B'` có :
`(OI)/(A'B') = (OF')/(A'F') <=> (AB)/(A'B') = (OF')/(OA'-OF')` `(2)`

Từ `(1),(2) => (OA)/(OA') = (OF')/(OA'-OF')`

`<=> 16/(OA') = 6/(OA'-6)`

`<=> OA' = 9,6cm`

Thay vào `(1)` ta có : `A'B' = (AB . OA')/(OA) = (2 . 9,6)/16 = 1,2cm`

Đáp án:

\(1,2cm\)

Giải thích các bước giải:

* Trường hợp 1: d = 4cm

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{OA}}{{OA'}} = \dfrac{4}{{OA'}}\\
\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{OI}}{{A'B'}} = \dfrac{{OF'}}{{OA' + OF'}} = \dfrac{6}{{OA' + 6}}\\
 \Rightarrow \dfrac{4}{{OA'}} = \dfrac{6}{{OA' + 6}} \Rightarrow OA' = 12cm\\
 \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{4}{{12}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow A'B' = 6cm
\end{array}\)

* Trường hợp 2: d = 8cm

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{OA}}{{OA'}} = \dfrac{8}{{OA'}}\\
\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{OI}}{{A'B'}} = \dfrac{{OF'}}{{OA' - OF'}} = \dfrac{6}{{OA' - 6}}\\
 \Rightarrow \dfrac{8}{{OA'}} = \dfrac{6}{{OA' - 6}} \Rightarrow OA' = 24cm\\
 \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{8}{{24}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow A'B' = 6c
\end{array}\)

* Trường hợp 3: d = 12cm

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{OA}}{{OA'}} = \dfrac{{12}}{{OA'}}\\
\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{OI}}{{A'B'}} = \dfrac{{OF'}}{{OA' - OF'}} = \dfrac{6}{{OA' - 6}}\\
 \Rightarrow \dfrac{{12}}{{OA'}} = \dfrac{6}{{OA' - 6}} \Rightarrow OA' = 12cm\\
 \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{12}}{{12}} = 1 \Rightarrow A'B' = 2cm
\end{array}\)

* Trường hợp 4: d = 16cm

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{OA}}{{OA'}} = \dfrac{{16}}{{OA'}}\\
\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{OI}}{{A'B'}} = \dfrac{{OF'}}{{OA' - OF'}} = \dfrac{6}{{OA' - 6}}\\
 \Rightarrow \dfrac{{16}}{{OA'}} = \dfrac{6}{{OA' - 6}} \Rightarrow OA' = 9,6cm\\
 \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{16}}{{9,6}} = \dfrac{5}{3} \Rightarrow A'B' = 1,2cm
\end{array}\)