Đáp án:

$a)$

        `v_[tb1] = [2v_1 v_2]/[v_1 + v_2] ` $(km/h)$

        `v_[tb2] = [v_1 + v_2]/2` $(km/h)$

$b)$

Vật thứ hai đến `B` trước vật thứ nhất một khoảng thời gian là `Delta t_[12] = [L(v_1 - v_2)^2]/[2v_1 v_2 (v_1 + v_2)] (h)`

$c)$

⊕ Nếu `v_2 < 3v_1 to S'  = [L (v_1 - v_2)^2]/[2v_1 (v_1 + v_2)] (km)`

⊕ Nếu `v_2 > 3v_1 to S' = [L (v_2 - v_1)]/[v_1 + v_2] (km)`

Giải thích các bước giải:

$v_1, v_2 (km/h)$ và `v_1 ne v_2`

$a)$

Thời gian vật thứ nhất, vật thứ hai chuyển động trên cả quãng đường lần lượt là `t_1, t_2 (h)`

Ta có:

        `t_1 = [L/2]/v_1 + [L/2]/v_2 = L. [v_1 + v_2]/[2v_1 v_2]`  `(1)`

        `L = t_2/2 .v_1 + t_2/2 .v_2 = t_2 . [v_1 + v_2]/2`  `(2)`

Vận tốc trung bình của vật thứ nhất, vật thứ hai trên cả quãng đường lần lượt là:

        `v_[tb1] = L/t_1 = [2v_1 v_2]/[v_1 + v_2] ` $(km/h)$

        `v_[tb2] = L/t_2 = [v_1 + v_2]/2` $(km/h)$

$b)$

Ta có:

        `v_[tb1] - v_[tb2] = [2v_1 v_2]/[v_1 + v_2] - [v_1 + v_2]/2`

                      `= [4v_1 v_2 - (v_1 + v_2)^2]/[2(v_1 + v_2)]`

                      `= [2v_1 v_2 - v_1^ 2- v_2^2]/[2(v_1 + v_2)]`

                      `= [- (v_1 - v_2)^2]/[2(v_1 + v_2)] < 0`

`to v_[tb1] < v_[tb2]`

`=>` Vật thứ hai đến `B` trước vật thứ nhất.

Từ `(1), (2) to` Vật thứ hai đến `B` trước vật thứ nhất một khoảng thời gian là:

        `Deltat_[12] = t_1 - t_2 = L. [v_1 + v_2]/[2v_1 v_2] - [2L]/[v_1 + v_2]`

               `= [L(v_1 +v_2)^2 - 4v_1 v_2 L]/[2v_1v_2(v_1 + v_2)]`

               `= [L(v_1 - v_2)^2]/[2v_1 v_2 (v_1 + v_2)] (h)`

$c)$

Xét biểu thức:

        `Delta t = t_2 - [L/2]/v_1 = [2L]/[v_1 + v_2] - L/[2v_1] = [L(3v_1 - v_2)]/[2v_1(v_1 + v_2)] (h)`

⊕ Nếu `v_2 < 3v_1 to Deltat > 0`

`to` Vật thứ hai đến `B` khi vật thứ nhất đang đi với vận tốc `v_2`.

Khi vật thứ hai đến `B` thì vật còn lại cách `B` một khoảng là:

        `S' = L - L/2 - v_2 Deltat = L/2 - v_2 . [L(3v_1 - v_2)]/[2v_1(v_1 + v_2)]  `

            `= L/2 . [v_1^2 - 2v_1 v_2 + v_2^2]/[v_1 (v_1 + v_2)]`

            `= [L (v_1 - v_2)^2]/[2v_1 (v_1 + v_2)] (km)`

⊕ Nếu `v_2 > 3v_1 to Deltat < 0`

`to` Vật thứ hai đến `B` khi vật thứ nhất đang đi với vận tốc `v_1`.

Khi vật thứ hai đến `B` thì vật còn lại cách `B` một khoảng là:

        `S' = L - v_1 t_2 = L - v_1 . [2L]/[v_1 + v_2] = [L (v_2 - v_1)]/[v_1 + v_2] (km)`